On som i on anem
A l’Escola de Muntanyola (Osona) des de fa uns anys, arran de la nostra integració en la filosofia i línia de treball del grup a+a+ i la seva xarxa d’escoles CRADS (educació crítica, racionalista, activa, democràtica i solidària), treballem formant-nos tant en capacitació didàctica i la seva fonamentació teòrica com ampliant els continguts pròpiament matemàtics tot cercant les causes que originen certes dificultats d’aprenentatge. Hem investigat el domini del nostre alumnat en el que fa referència a la capacitat del pensament lògic, en l’adquisició del nombre i el comptatge, i ha estat a partir d’aquest coneixement que hem pogut estructurar un projecte i una planificació d’activitats que puguin atendre les dificultats detectades i donar-hi resposta.
Seguint aquesta trajectòria, hem emprès també el treball d’analitzar el procés en què el nostre alumnat es troba amb relació a l’evolució del procés de comptar i passar des d’aquest domini al calcular, per així poder millorar les seves capacitats operatives.
Què vol dir «comptar»?
Segons l’Institut d’Estudis Catalans, comptar vol dir «determinar el nombre (d’objectes d’un conjunt) anant-los designant, un a un o per grups, amb els noms dels nombres de la sèrie natural ascendent».Quina gràcia quan molts infants de dos o tres anys a punt de fer un saltiró diuen: «Un, dos, tres salto!» o bé, quan de ben petits diuen «Vols que compti fins a cinquanta?» i tot seguit comencen a recitar la cantarella. Això és comptar? Comptar és un procés mental complex ple de significació quantitativa i no només una memorització. Cal que els alumnes vagin descobrint la quantificació a partir de situacions de vida amb el nostre acompanyament. Abans, és primordial que els infants s’habituïn a estimar quantitats fent ús dels conceptes molts/pocs/cap. De mica en mica apareixerà la necessitat de comptar per diferenciar quants de pocs o quants de molts i serà el moment d’iniciar-se en el comptatge.
Què vol dir «calcular»?
L’Institut d’Estudis Catalans ho defineix com a «determinar (un valor numèric) per un procés matemàtic». El procés d’adquisició d’una estructura mental del nombre amb visió de calculatge no s’adquireix de cop i volta i fins i tot pot no adquirir-se si no es genera un procés d’aprenentatge que ho potenciï, procés imprescindible per tal que s’adquireixin procediments i capacitat de càlcul.
Pas del comptatge al calculatge
Mentre que el comptatge és un procés d’acumulació o d’integració unitària, el calculatge és una estructuració mental d’agrupaments numèrics. L’adquisició de la competència operativa és fruit de la conjunció, d’una banda, del domini del nombre, i per això cal atendre i dominar les tres estructures que el constitueixen: identificar, relacionar i operar, i, d’altra banda, cal el domini del comptatge i tenir desenvolupada la capacitat de conservació de la quantitat, procés que evoluciona des de fases purament perceptuals a la pròpiament de representació mental. A grans trets, aquesta evolució es podria resumir en:
Fase perceptual total (es necessita constatar tots els valors)
- Comptatge un a un amb retorn a l’inici
L’infant fa un comptatge un a un i amb necessitat de retornar a l’inici, és a dir, per exemple, si cal comptar 2+3, va aixecant els dits d’una mà mentre compta 1, 2; després compta de la mateixa manera 1, 2, 3 en l’altra mà, i finalment compta els dits de les dues mans de manera seguida: 1, 2, 3, 4, 5. En aquest estadi necessita constatacions perceptuals sensorials, i com més millor. Si l’alumne no disposa d’objectes el que farà serà fer ús dels seus dits. Inicialment els infants per comptar aixequen els dits de la mà o bé es toquen els llavis, les galtes…, és a dir, necessiten ajudar-se de diferents sentits com el tacte o la vista.
El procés per ajudar a anar superant de manera evolutiva els diferents estadis rau a proposar-los situacions que comportin més dificultat i que alhora els siguin engrescadors. Als infants els agrada superar reptes i la seva superació els ajudarà a avançar en aquests estadis evolutius. En primer lloc, hem de permetre que tinguin objectes reals per poder tocar i observar; més endavant poden fer servir parts del seu propi cos, sovint els dits. En un primer moment deixarem que els puguin veure mentre els mouen, després deixarem que els moguin mentre es toquen alguna part del cos sense veure’ls o els amaguen darrere l’esquena i, finalment, sense moure els dits. Hem de donar opcions a l’alumne perquè no es bloquegi, però sempre avançant per aconseguir que superi aquesta fase.
- Comptatge un a un amb continuïtat des del primer
En aquesta fase es tracta de fer un pas endavant tot jugant a no poder fer dues voltes de comptar les mans, sinó que cal fer-ho, només, en una vegada sense tornar a començar. La necessitat perceptual de constatació dels dos valors continua sent imprescindible. Cal ajudar els infants a fer que el segon valor sigui entès com a continuïtat després del primer valor.
Fase perceptual parcial (algun valor deixa de ser comptat)
- Memorització del primer i comptatge posterior
Es domina la representació mental del primer valor i la capacitat de continuar comptant a partir d’aquest valor mentre el segon valor necessita la constatació perceptual. Per exemple, 2+3 comença al 2 i continua comptant amb la necessitat de constatar visualment que hi ha tres dits en el segon valor.
- Opcionalitat de memorització amb comptatge posterior
En aquesta fase cal ajudar l’infant a escollir quin dels dos valors vol memoritzar i quin serà el valor que afegirà. Es tracta de jugar a escollir quina mà vol tancar. De seguida s’adonarà que és més fàcil memoritzar el nombre més gran i afegir el petit. Hi ajuda quan el segon element és superior a 5. Per exemple, 2+7 comença a comptar a partir del 7. Si fa servir les mans, podem ajudar-lo si juguem, per exemple, dient que només pot utilitzar una mà i que l’altra l’ha de tancar. Més endavant li proposem que pot veure la mà però que no pot moure els dits, i posteriorment, que no pot moure els dits ni veure la mà. Serà en aquest moment que l’infant haurà de
començar a visualitzar els dits o objectes dins el seu cap.
Fase mental o operativa
En aquest estadi el nombre passa de ser suma d’unitats a ser valors globalitats. L’infant necessita visualitzar o imaginar-se el nombre sense poder-lo tocar. Inicialment solen substituir els dits per objectes que veuen al seu voltant o també que s’imaginen. Cal anar afavorint que aquest tipus de càlcul es faci a partir d’imatges que els alumnes mateix visualitzin mentalment, sense fer servir la vista.
Memorització amb visualització del comptatge
En aquesta fase, la ment li dona la imatge que li servirà per calcular, i per tant només l’infant veu el que imagina.
Càlcul
L’infant ja no necessita veure ni imaginar-se les coses, i ho resol sense dificultats sense usar imatges objectals mentals.
L’anàlisi diagnòstica del pas del comptatge al calculatge
Una de les inquietuds que tenim com a centre és el de l’avaluació per millorar. Com a membres del grup a+a+ i dintre el nostre procés formatiu, i de forma conjunta amb altres grups a+a+, hem elaborat una prova que ens permet detectar l’estadi evolutiu en què es troba cada un dels infants en relació amb el comptatge, la conservació de quantitat i el grau de domini del calculatge. La prova ens permet comprovar si l’alumne ha assolit l’estadi de l’adquisició del nombre i, si no és així, saber en quina fase es troba i on retornar per poder-lo ajudar a avançar. Disposar d’informació detallada de cadascun dels nostres alumnes respecte al seu estadi evolutiu ens possibilita poder donar a cadascun la teràpia d’activitats que li siguin més adients per seguir evolucionant i adquirint un comptatge realment profund i coherent. En molts casos d’alumnat amb problemàtiques d’aprenentatge, la seva dificultat pot generar-se a conseqüència d’una mala i inadequada adquisició d’alguns d’aquests dominis. Aquí només ens centrarem en el calculatge.
Valorem els resultats
Les proves efectuades eren plantejar oralment unes operacions diferenciant les sumes i les restes i recollir en una graella, per a cada operació, l’estadi on es trobava. S’iniciava amb càlculs senzills, com per exemple a P5 demanar 2+3, 3+1, o a Cicle Inicial 5+2, 3+4, 3+7, 5-2, 4-3, 7-4, o a CM 9+3, 4+8, 7+9, 13-7, 14-8, 22-17…, i a partir d’aquí, si calia, ampliar-ne la dificultat.
Anàlisi del recull de dades
a) P5: s’evidencia que, lògicament, els alumnes que mostren més habilitats en el comptatge també mostren un grau d’evolució en el calculatge més avançat. Si bé la majoria se situa en la fase perceptual, també hi ha alguns casos en què ja són capaços de memoritzar segons els convingui el primer o el segon sumand i també, alguns, de visualitzar l’operació de forma mental. Observem, en contrast amb els resultats obtinguts en el curs 2015-16, en què passàrem la mateixa prova, una substancial millora, ja que aleshores quasi la totalitat de l’alumnat se situava en el nivell de la fase perceptual total amb retorn a l’inici, i molt pocs casos en la continuïtat des del primer sumand. Evidentment, la millora és deguda a les adaptacions didàctiques fetes després de les observacions dels resultats del 2015-16.
b) Cicle inicial: a primer es detecten dominis en fases diferents; hi ha qui mostra ja un bon domini del càlcul, amb una gran majoria que es troba en la fase mental de visualització; uns pocs casos, en la fase perceptual total amb continuïtat des del primer sumand, i alguns casos, de nova incorporació al nostre centre, que es troben en la fase de retorn a l’inici.
Si comparem els resultats dels grups de segon respecte als del 2015/16 veiem que hi ha una considerable millora, ja que mentre que abans hi havia la meitat d’infants en la fase perceptual de memorització del primer sumand, ara tots es troben ja dins l’estadi mental, una tercera part, en la fase de visualització
i la resta ja en el domini del càlcul. Cal constatar que aquest grup de segon és el primer grup que ha treballat amb aquesta metodologia des de P3, i potser perquè són pocs, potser per les seves pròpies habilitats i per la manera d’aprendre que fomenta l’escola, ens fan entendre que estem fent la feina bé.
c) Cicle mitjà: detectem una gran millora en gairebé tots els alumnes en el domini de la descomposició i composició dels nombres a l’hora de calcular. També hem constatat que els alumnes que mostren menys habilitat sempre mostren més seguretat en la suma que en la resta, i que en la resta alguns descomponen bé però a l’hora de tornar a compondre el resultat encara s’hi mostren poc segurs. L’última dada que ens ha aportat l’anàlisi dels resultats obtinguts és que a CM és on comença a haver-hi un bon domini de la conservació de la quantitat no lligada a la forma i que això afavoreix els alumnes a l’hora del calculatge. Sovint quan la conservació de la quantitat va lligada a la reproducció de la forma en què es presenten els objectes a comptar s’observa que, normalment, en el calculatge se situen en la fase perceptual o de visualització, i quan la noció de quantitat no va lligada a la forma ja s’ubiquen en l’estadi de càlcul mental.
La millora en les proves de calculatge respecte als resultats del 2015-16 és considerable en tots els cicles, però molt més evident en els grups dels grans. Tot i que encara hi ha algun infant que mostra dificultats tant a CM com a CS i que encara estan en l’estadi de visualització en el calculatge, globalment hi ha un bon nivell en el domini del càlcul.
Conclusions en relació amb els beneficis que ens reporta el fet d’analitzar processos
La primera necessitat com a claustre va ser la d’unificar criteris i metodologia de treball, completament conscients que els alumnes han de ser els protagonistes del seu aprenentatge i d’acord amb el procés natural de l’aprenentatge matemàtic, i que a través del treball fet en el grup a+a+ se’ns ha fet conscient el procés didàctic que apliquem sempre: vivenciació, manipulació, simbolització, abstracció i generalització, i la necessitat d’analitzar processos, recursos i activitats que oferim als nostres alumnes amb la finalitat d’obtenir millors resultats.
Al cap de cinc cursos d’implantar la nova metodologia ens calia avaluar si els processos seguits han ajudat a millorar el procés d’aprenentatge dels nostres alumnes. La revisió sistemàtica i el fet d’identificar en quina fase de l’adquisició del comptatge es troba cada un dels alumnes ens ha permès poder-los oferir activitats personalitzades i adients a cada un d’ells per superar aquesta fase i iniciar-se en la posterior.
Som conscients que hem aconseguit una millora considerable en l’aprenentatge matemàtic del nostre alumnat, el qual està en estadis més evolucionats que el del curs 2015-16.
Per saber-ne més
Alvarado, M.; Brizuela, B. (compiladors). Haciendo números. Mèxic DF: Paidós Educador, 2005.
Barba, D.; Calvo, C. Materials per a l’aprenentatge del nombre i el càlcul. Barcelona: Boter-Uabar, 2007.
Dickson, l.; Brown, M. I.; Gibson, O. El aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Labor-MEC, 1991.
ELISABET SOLÀ
Escola Muntanyola (Osona)
Membre del grup a+a+
