Jordi Deulofeu Piquet
Departament de Didàctica de
la Matemàtica i de les Ciències Experimentals
Universitat Autònoma de Barcelona
jordi.deulofeu@uab.cat
Competència matemàtica i pensament crític
Quan es parla de pensament crític i de la importància del seu desenvolupament a l’aula no s’acostuma a pensar que també des de les matemàtiques es pot treballar un dels objectius fonamentals de l’ensenyament obligatori: aconseguir que els nostres alumnes esdevinguin ciutadans autònoms, amb capacitat crítica per analitzar tot allò que succeeix en el seu entorn i per fer propostes de transformació que permetin millores en tots els àmbits.
Ara bé, per tal de fer possible aquest treball cal tenir una determinada visió del que són les matemàtiques i de quin hauria de ser el seu paper en la formació dels alumnes. En efecte, les matemàtiques són una manera de conèixer el món i d’analitzar-lo gràcies a un llenguatge particular i a un mètode de raonament que permet una manera genuïna de validar els seus resultats, característica que la diferencia de la resta de disciplines. Tanmateix, si pensem que les matemàtiques són només un instrument i que el que cal és fonamentalment ensenyar un conjunt de tècniques per tal que puguin ser aplicades en altres disciplines, llavors serà difícil no només incidir en el desenvolupament del pensament crític, sinó de manera més general propiciar l’adquisició de la competència matemàtica, entesa com la capacitat d’utilitzar tots aquells coneixements adquirits (conceptes, tècniques, estratègies, formes de raonar) en l’anàlisi i la resolució de problemes de situacions corresponents a contextos diversos. I per tal que això sigui possible, l’aprenentatge dels conceptes i de les tècniques s’ha de fer també de forma contextualitzada, de manera que sigui possible establir una relació dialèctica entre aprenentatge de conceptes i tècniques i la seva aplicació.
Per tal de portar a l’aula una educació matemàtica crítica és imprescindible proporcionar als alumnes, en el seu treball diari a l’aula, oportunitats per obtenir, analitzar, criticar i establir la validesa d’informacions que s’expressen mitjançant llenguatges matemàtics (nombres, taules, arbres, gràfics, etc.) obtingudes a través de fonts diverses. També implica donar l’oportunitat per dissenyar plans per resoldre problemes i, particularment, per prendre decisions que permetin resoldre’ls, arribant a establir la pertinència, o no, d’aquestes decisions, i en tot cas, aprenent a assumir-ne les conseqüències. En definitiva, formar el pensament crític des de les matemàtiques és adonar-se que tampoc les matemàtiques són neutres, com moltes vegades es vol fer creure, i que quan utilitzem la modelització matemàtica per analitzar situacions i resoldre problemes, l’elecció d’un model o d’un altre, més enllà de la seva pertinència pot tenir conseqüències molt rellevants, arribant a proporcionar solucions diferents d’un mateix problema.
Certament hi ha moltes situacions i activitats que ens poden servir per desenvolupar el sentit crític a través de les matemàtiques, entre elles les que es refereixen a l’anàlisi i la representació de la informació, les que promouen la presa de decisions, les que posen en dubte les nostres intuïcions o aquelles que ens porten a argumentar la validesa d’un raonament, contrastant-lo amb d’altres.
Tanmateix, és possiblement en la resolució de problemes i en la gestió que fem a l’aula de les diferents fases del procés que implica la resolució de qualsevol problema, on tindrem un major nombre d’oportunitats per treballar el pensament crític. Per això en aquest article, partint dels pressupòsits que acabem d’exposar sobre el que entenem per educació matemàtica crítica, analitzarem activitats per treballar a l’aula centrades en la resolució de problemes que corresponen a situacions de la realitat, acompanyades d’orientacions per a la seva gestió.
Dades, dades, dades
Per tal de portar a l’aula una educació matemàtica crítica és imprescindible proporcionar als alumnes oportunitats per obtenir, analitzar, criticar i establir la validesa d’informacions que s’expressen mitjançant llenguatges matemàtics obtingudes a través de fonts diverses
Quan resolem problemes el primer que fem és entendre l’enunciat, que consisteix a reconèixer la pregunta, allò que hem de trobar o validar, identificar les dades que ens donen, i establir relacions entre les dades i la pregunta per saber si necessitarem totes les dades o bé en sobrarà o en faltarà alguna. Aquest és un aspecte fonamental per tal que quan els alumnes resolen problemes matemàtics el que aprenen els serveixi per resoldre altres problemes, tant matemàtics com, sobretot, de la realitat. En definitiva, estem davant d’un dels reptes més importants del nostre temps: davant l’allau d’informació a què tots estem sotmesos, com podem reconèixer la validesa de les dades, o dit d’una altra manera, com podem identificar si ens estan donant informació capciosa o tergiversada?
Segurament els gràfics són una de les formes de presentació de les dades que més es presten a aquest joc, especialment quan es dona informació de manera ràpida, tant en els mitjans de comunicació com en debats polítics. Per això és tan important aprendre a llegir, interpretar i construir gràfics, tant estadístics com funcionals. Sovint n’hi ha prou d’alterar la graduació dels eixos per tal que el lector cregui que hi ha increments rellevants quan en realitat no ho són, o viceversa. La xarxa és plena d’exemples d’aquests tipus de gràfics, per la qual cosa ens estalviem els exemples, però remetem el lector a consultar-los a internet, especialment en èpoques de campanyes electorals.
Solucions diferents per a un mateix problema
Aquest és l’enunciat d’un problema que sembla estàndard, però quan pensem en la seva resolució veiem que no ho és. La Marta surt de Barcelona amb el seu cotxe cap a Madrid. A Saragossa recull el seu amic Pere que també va a Madrid. A la tornada fan el mateix, tornen junts fins a Saragossa i la Marta segueix fins a Barcelona. Si el cost del viatge (anada i tornada) és de 120 € i sabem que Saragossa és a la meitat del trajecte, com s’haurien de repartir les despeses del viatge la Marta i en Pere? Hi ha més d’una manera de resoldre el problema? Hi ha solucions diferents? Justifiqueu quina solució us sembla la més adequada.
El problema té, certament, moltes solucions. Aplicant models matemàtics podem repartir els costos proporcionalment a la distància recorreguda per cadascun dels dos: estan en la raó 2 a 1, de manera que la Marta pagarà 80 i en Pere 40. També podem pensar que la Marta paga els trajectes en què viatja sola i comparteix el cost dels altres amb en Pere; això porta a un repartiment de 3 a 1, és a dir, la Marta paga 90 i en Pere 30. Les dues solucions són adequades però porten a resultats diferents. L’interessant d’aquest problema és la discussió a l’aula al voltant de les diferents solucions, de quina es considera més «justa» i dels arguments aportats.
És clar que no falten solucions com aquesta: com que la Marta hagués hagut de pagar igualment tot el trajecte, ho paga tot ella i convida en Pere. És interessant diferenciar aquelles solucions que impliquen l’ús de models matemàtics, com les dues primeres, d’aquelles que, tot i ser plausibles, utilitzen altres arguments. En tot cas, la discussió d’aquest problema a l’aula mostra com en un problema real podem trobar solucions molt diferents i que, a vegades, és difícil establir quina és l’òptima i fins i tot si aquesta existeix.
Quan la intuïció ens juga males passades
La intuïció és molt important quan fem matemàtiques. Tanmateix, no sempre ens ajuda prou a resoldre problemes. Analitzem aquesta situació: l’any 2018, la població mundial arribarà als 7.500 milions d’habitants. Imaginem, per un moment, que ens poguéssim reunir tots en un mateix lloc. Ens posaríem ben junts i cadascú ocuparia un quadrat de 50 cm de costat, és a dir, 4 persones per metre quadrat. Què ens diu la intuïció sobre la superfície que ocuparíem? Cabríem tots a l’Empordà (entre l’Alt i el Baix són 2.060 km2)? Necessitaríem la superfície de Catalunya (32.100 km2)? La d’Espanya (506.000 km2)? O bé la de tota la Unió Europea (4.324.800 km2)?
La resolució d’aquesta situació mostra la dificultat per intuir la grandària de les superfícies, ja que quasi ningú creu, en un primer moment, que, efectivament, tot el món cabria a l’Empordà. En aquest cas, té sentit fer els càlculs i les transformacions d’unitats necessàries (de la població total a la superfície en metres quadrats i d’aquesta a kilòmetres quadrats) i, encara més, imaginar-se les dimensions d’una superfície (per exemple, en el cas de l’Empordà equival a un quadrat de poc més de 45 km de costat). Fer exercicis de canvis d’unitat sense sentit, cosa encara massa habitual, és una activitat que serveix per molt poc i, en tot cas, no aporta res a la comprensió d’aquesta situació. Els canvis d’unitat cal fer-los en contextos que ho requereixin, i molt especialment en aquells casos on els resultats són sorprenents, com és el cas de la situació proposada.
A tall de conclusió: on voldríem arribar?
Els exemples anteriors tenen com a objectiu desenvolupar el pensament crític dels nostres alumnes. Des de les matemàtiques voldríem que, quan els alumnes resolen problemes i justifiquen els seus mètodes i les seves resolucions, fossin capaços d’analitzar-los de manera crítica i, encara més, d’utilitzar aquestes anàlisis per tal de construir noves solucions.
La Gina, una alumna de sisè de Primària, quan explicava la solució d’un problema el context del qual era una catifa formada per petits quadrats que contenen sols i llunes, deia: «Per trobar la quantitat de sols i de llunes de la catifa, primer he pensat que n’hi hauria la mateixa quantitat. He dividit 135 (el nombre total de quadrats) entre dos i m’ha donat 67,5. Però, com que no pot haver-hi mig “quadradet”, he pensat que hauria d’haver-n’hi un més que de l’altre. I, com sabria si hi havia més sols o més llunes? Mirant la primera columna he vist que hi havia 5 sols i 4 llunes. Per això he pensat que hi hauria 68 sols i 67 llunes».
Problema. L’Arnau ha comprat una catifa molt gran de 6 m de llarg i 3,6 m d’ample. El dibuix representa una part de la catifa.
1) Quan la catifa estigui totalment desplegada, quants quadrats petits tindrà en total? 2) Quants quadrats petits contindran un Sol i quants una Lluna? 3) Resol el problema i explica com l’has resolt.
davant l’allau d’informació a què tots estem sotmesos, com podem reconèixer la validesa de les dades?, com podem identificar si ens estan donant informació capciosa o tergiversada?
La Gina no només es fa preguntes a ella mateixa de caràcter metacognitiu, si no que, gràcies a l’obtenció d’un resultat decimal en una divisió que hauria de donar enter d’acord amb el context, pot corregir una primera intuïció del resultat del problema i acabar argumentant la validesa del nou resultat. Sens dubte això és, al nostre parer, un magnífic exemple de l’ús del pensament crític a l’aula de matemàtiques. I això es pot aconseguir si ja des dels primers cursos de Primària els alumnes resolen autèntics problemes i sobretot han d’explicar les seves resolucions fins a arribar a argumentar la validesa de les seves produccions. Aquesta és una tasca que requereix un treball llarg i constant (al principi, trobem sovint descripcions molt superficials), però que dona fruits tant bonics com les explicacions de la Gina, i mostra la rellevància del pensament crític.
Des del nostre punt de vista, aconseguir que els alumnes raonin d’aquesta manera és molt més important que acumular un gran nombre de coneixements matemàtics, i mostra que les matemàtiques, més enllà de la seva utilitat per resoldre problemes concrets, tenen un paper rellevant en la formació del pensament crític dels futurs ciutadans.
Per saber-ne més
Calvo, C.; Deulofeu, J.; Jareño, J.; Morera, L. (2016). Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria. Madrid: Síntesis.
Mallart, A.; Deulofeu, J. (2017). «Estudio de indicadores de creatividad matemàtica en la resolución de problemas». Relime, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 20, núm. 2.
Solar, H.; Deulofeu, J. (2016). «Condiciones para promover la competencia de argumentación en el aula de matemáticas». Bolema, vol. 30, núm. 56, p. 1092 – 1112.
Villalonga, J.; Deulofeu, J. (2017). «La base de orientación en la resolución de problemas: “Cuando me bloqueo o equivoco”». Redimat, vol. 6,
núm. 3, p. 256-282.
